Fonction affine et moyenne arithmétique

Énoncé 1 question ouverte

Soit \(f\) une fonction affine définie par \(f(x)=mx+p\) , où \(m\) et \(p\) sont des réels.
Soit ​​​​​​\(n \in \mathbb{N}^\ast\).
Démontrer que l'image de la moyenne arithmétique de \(n\) valeurs est égale à la moyenne arithmétique des images des \(n\) valeurs.

Énoncé 2 avec des questions intermédiaires

Soit \(f\) une fonction affine définie par \(f(x)=mx+p\) , où \(m\) et \(p\) sont des réels.
Soit ​​​​​​ \(n \in \mathbb{N}^\ast\).
On considère une série \(x_1, x_2, \dots , x_n\) de \(n\) valeurs.
1. Exprimer \(f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)\) en fonction de \(f(x_1)\) et de \(f(x_2)\).
2. a. Quelle est la moyenne arithmétique \(\overline{x}\) des valeurs   \(x_1, x_2, \dots , x_n\) ?
    b. Démontrer que \(f\left(\overline{x}\right)=\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}\).
3. Traduire, à l'oral, l'égalité de la question 2. b. par une phrase contenant les mots "moyenne" et "image".